Potęgi – potęga wiedzy matematycznej Potęgowanie jest jedną z trudniejszych sztuk, z którą przychodzi nam się zmierzyć zwykle w wieku gimnazjalnym. Jest to wielokrotne mnożenie liczby przez nią samą np. 2 do potęgi 3 to 2 x 2 x 2. Inaczej mówiąc: Potęgowanie liczb to odwrotność pierwiastkowania, czyli - pierwiastek 3 stopnia z 8 = 2, ponieważ 2 x 2 x 2 to 8. Działania na potęgach, zwłaszcza na początku sprawiają nie lada trudności, dlatego, aby ułatwić sobie zadanie, skorzystaj z tego krótkiego, acz przydatnego zestawu. Omawiane są w nim potęgi liczby dwa. Potęgi dwójki – dobry wstęp do potęgowania Aby zrozumieć i oswoić się z potęgowaniem, najlepszym rozwiązaniem jest zacząć od potęgi 2, gdyż jest najprostsza i najłatwiej przyswajalna (potęgi 1 to zawsze 1). Z Fiszkoteką bez problemu zapamiętasz wszystkie potęgi, ponieważ nauka z nami opiera się na nowoczesnej i efektywnej metodzie fiszek. Są one skuteczne nie tylko w przypadku nauki języków, ale nadają się również do nauki każdego innego przedmiotu! Zacznij już teraz, a gwarantujemy, że docenisz, jak szybko i łatwo jesteś w stanie się z nami nauczyć. Dodatkowym atutem tej lekcji jest fakt, iż jest ona całkowicie darmowa. Aby w pełni móc cieszyć się możliwościami Fiszkoteki, zainstaluj naszą aplikację i ucz się wszędzie, gdzie tylko chcesz! Matematyka z Fiszkoteką Jeżeli spodobała Ci się nauka z nami, to z pewnością zainteresują Cię również inne lekcje dotyczące matematyki. Na naszej platformie znajdziesz zarówno lekcje podstawowe, traktujące o tabliczce mnożenia, jak i skomplikowane różniczkowanie czy pochodne. Aby ułatwić Ci szukanie, zgromadziliśmy tutaj niektóre z nich. Miłej nauki! Wzory z matematyki - znajdziesz tutaj podstawowe wzory np. na pole koła, trapezu czy ostrosłupa, zamiana jednostek - w tej lekcji dowiesz się więcej o zamianie jednostek, a ta lekcja kwadraty liczb zawiera potęgi do kwadratu liczb od 1 do 30. Jesteśmy pewni, że znajdziesz u nas coś dla siebie!
program liczący liczbę do n potęgi 2014-08-07 16:03; Potegi 2005-10-09 14:07; Program obliczający potegi liczb całkowitych, C 2011-10-25 18:31; Do potęgi -1 2012-06-27 00:03; Liczenie potegi 2015-03-28 17:29; Jak sprzwdzić czy liczba jest potęgą dwójki? 2013-10-26 12:00; Assembler - prosty program podnoszacy liczbe do potegi 2011-11Notatka z matematyki Potega liczby 2 - tabela od 0 do 20. Poniższa tabela przedstawia potęgi liczby 2. Liczba Potęga liczby 2 20 1 21 2 22 4 23 8 24 16 25 32 26 64 27 128 28 256 29 512 210 1 024 211 2 048 212 4 096 213 8 192 214 16 384 215 32 768 216 65 536 217 131 072 218 262 144 219 524 288 220 1 048 576 Potęgowanie polega na wielokrotnym mnożeniu danej liczby przez siebie. Liczbę potęgowaną nazywamy podstawą a liczbę czynnika potęgi wykładnikiem. Sprawdź także Tabela potęg liczby 3 Tabela potęg liczby 4 Powiązane testy
CID images work by attaching the image to the email you send and then using standard HTML image tags that reference that image to eventually embed it in the email when the user opens it. Using the SendGrid Node.js client library, we'd attach the image like so: var params = {. smtpapi: new sengrid.SmtpapiHeaders(),
Na początku zdefiniujemy pojęcie potęgi. Potęga liczby $a$ o wykładniku $n$ nazywamy liczbę w postaci: $$a^{n} = \underbrace{a\cdot a\cdot a \cdot … \cdot a}_{n-razy}$$ gdzie: oraz $n$ jest liczbą naturalną większa od 0. Przykłady. $$5^{3} = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$$$$2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8$$$$4^{4} = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 16 =256$$ $$3^{2} = 3 \cdot 3 = 9$$$$13^{8} = 13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13$$ Potęga o wykładniku wymiernym i całkowitym Teraz podamy wzory na potęgę o wykładniku wymiernym i całkowitym. Są to: $$a^{\color{blue}{-n}} = \frac{1}{a^{\color{blue}{n}}},\;\;\;\;\;a \neq 0, n\in \mathbb{N}$$$${a^{\frac{1}{\color{blue}n}} = \sqrt[\color{blue}n]{a},\;\;\;\;\;a \geq 0, n\in \mathbb{N}}$$ $${{{a^{\frac{\color{red}k}{\color{blue}n}} = (\sqrt[\color{blue}n]{a})^{\color{red}k},\;\;\;\;\;a \geq 0, n\in \mathbb{N},k\in \mathbb{Z_{+}}}}}$$ $$a^{\frac{-\color{red}{k}}{\color{blue}{n}}}=(\sqrt[\color{blue}{n}]{a})^{\color{red}{-k}}=\left(\frac{1}{\sqrt[\color{blue}{n}]{a}}\right)^{\color{red}{k}},\;\;\;\;\;a > 0, n\in \mathbb{N},k\in \mathbb{Z_{+}}$$ gdzie: $\mathbb{Z_{+}}$ – zbiór liczb całkowitych dodatnich. Przykład I. $\left(ad.~a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}\right)$ $$3^{-1}=\frac{1}{3}$$ $$\left(\frac{5}{7}\right)^{-4} = \left(\frac{7}{5}\right)^{4} = \frac{7^{4}}{5^{4}}$$ Przykład II. $\left(ad.~a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\right)$ $$3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3}$$ $$8^{\frac{1}{2}} = \sqrt{8}$$ $$\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$$ Przykład III. $\left(ad.~a^{\frac{k}{n}} = (\sqrt[n]{a})^{k}\right)$ $$2^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{2})^{3}$$ $$4^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{4})^{3}$$ Przykład IV. $\left(ad.~a^{\frac{-k}{n}}=(\sqrt[n]{a})^{-k}=\left(\frac{1}{\sqrt[n]{a}}\right)^{k}\right)$ $$2^{\frac{-3}{2}} = (\sqrt{2})^{-3}=\frac{1}{(\sqrt{2})^{3}}$$ Potęgą liczby $a$ o wykładniku zerowym jest liczba: $$a^{0} = 1$$. Przykłady. $$147^{0}=1$$ $$2^{0}=1$$ $$15^{0}=1$$ Działania na potęgach Niech $m,n$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli $a > 0$ i $ b > 0$, to zachodzą równości: $${{a}^{\color{blue}m} \cdot {a}^{\color{red}n} = {a}^{\color{blue}m+\color{red}n}}$$ $${\frac{{a}^{\color{blue}m}}{{a}^{\color{red}n}}={a}^{\color{blue}m-\color{red}n}}$$ $${a}^{\color{red}{n}} \cdot {{b}}^{\color{red}{n}} = \left({{a}}{{b}}\right)^{\color{red}{n}}$$ $$\frac{{a}^{\color{red}{n}}}{{{b}}^{\color{red}{n}}}=\left(\frac{{a}}{{{b}}}\right)^{\color{red}{n}}$$ $$({a}^{\color{blue}m})^{\color{red}n}={a}^{\color{blue}m\cdot \color{red} n}$$ $$({a}^{\color{blue}m})^{\color{red}n}=({a}^{\color{blue}m})^{\color{red}n}=({a}^{\color{red}n})^{\color{blue} m}$$ Powyższe wzory na działania na potęgach o wykładniku wymiernym i całkowitym znajdują się na kartach wzorów maturalnych. Przykłady. Przykład I. $\left(ad.~a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}\right)$ $$5^{3} \cdot 5^{4} = 5^{3+4} = 5^{7}$$co można pokazać również bez użycia wzoru:$$\underbrace{{\underbrace{{5\cdot5\cdot5}}_{3~razy}}\underbrace{{\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5}}_{4~razy}}_{7~ razy~(3+4)}=5^{7}$$ $$5^{9} \cdot 5^{17} = 5^{9+17} = 5^{26}$$ $$\left(\frac{1}{2}\right)^{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{5}$$ Przykład II. $\left(ad.~\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\right)$ $$3^{6} \div 3^{2} = 3^{6-2} = 3^{4}$$bo:$$\frac{\overbrace{3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3}^{6~razy}}{\underbrace{3\cdot3}_{2~razy}}=\underbrace{3\cdot3\cdot3\cdot3}_{4~razy}$$ $$\frac{5^{7}}{5^{3}} = 5^{7-3} = 5^{4}$$ $$\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{10}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{4}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{10-4}=\left(\frac{1}{2}\right)^{6}=\frac{1^{6}}{2^{6}}=\frac{1}{2^{6}}$$ $$\frac{10^{100}}{10^{300}} = 10^{100-300} = 10^{-200} = \left(\frac{1}{10}\right)^{200}$$ Przykład III. $\left(ad.~a^{n} \cdot b^{n} = \left(ab\right)^{n}\right)$ $$3^{2} \cdot 5^{2} = (3\cdot5)^{2} = 15^{2}$$$$3\cdot3\cdot5\cdot5 = \underbrace{(3\cdot5)\cdot(3\cdot5)}_{2~razy}=15\cdot 15=15^2$$ $$5^{7}\cdot 6^{7}= (5\cdot 6)^{7} = 30^{7}$$ $$\left(\frac{1}{2}\right)^{100} \cdot 8^{100}= \left(\frac{1}{2}\cdot 8\right)^{100} = 4^{100}$$ Przykład IV. $\left(ad.~\frac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{n}\right)$ $$\frac{4^{4}}{5^{4}} = \left(\frac{4}{5}\right)^{4}$$$$\frac{8^{4}}{4^{4}} = \left(\frac{8}{4}\right)^{4}=2^{4}$$$$\frac{17^{8}}{4^{8}} = \left(\frac{17}{4}\right)^{8}$$$$\left(\frac{1}{3}\right)^{3} = \frac{1^{3}}{3^{3}}=\frac{1}{27}$$ Przykład V. $\left(ad.~(a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}\right)$ $$(2^{3})^{2} = 2^{3\cdot2} = 2^{6}$$co rozpisując potęgi możemy zapisać następująco:$$\underbrace{\underbrace{(2\cdot2\cdot2)}_{3~razy}\cdot\underbrace{(2\cdot2\cdot2)}_{3~razy}}_{6~razy}$$ $$(6^{11})^{5} = 6^{11\cdot5}=6^{55}$$ $$(3^{\frac{1}{2}})^{8} = 3^{\frac{1}{2}\cdot8} = 3^{4}$$ $$(2^{\sqrt{2}})^{\sqrt{5}} = 2^{\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}} = 2^{\sqrt{10}}$$ Matura z matematyki? Oferujemy SuperKorepetycje - korki online połączone z przejrzyście zrozumiałymi filmikami do nauki własnej Zobacz więcej Zadania Zadanie 1. Oblicz wartość wyrażenia $\left(\frac{2^{6}}{2^{3}}\right)^{3}$ Skorzystamy ze wzorów: $$(a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}$$$$\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$$ Zatem: $$\left(\frac{2^{6}}{2^{3}}\right)^{3} \stackrel{1}{=} \frac{2^{6\cdot 3}}{2^{3\cdot 3}}\ = \frac{2^{18}}{2^{9}} \stackrel{2}{=} 2^{18-9} = 2^{9}$$ gdzie: $1$ – pierwszy wzór zadania 1, $2$ – drugi wzór zadania 1. Zadanie 2. Zapisz liczbę w postaci potęgi 2 liczbę: $\sqrt{8}\cdot \sqrt{16}$. Skorzystamy ze wzorów: $$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$$$$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$$ Zatem: $$\sqrt{8}\cdot \sqrt{16} = \sqrt{8\cdot 16} \stackrel{1}{=} \sqrt{2^{3}\cdot 2^{4}} = \sqrt{2^{3+4}} = \sqrt{2^{7}} \stackrel{2}{=} 2^{\frac{7}{2}}$$ $1$ – pierwszy wzór zadania 2, $2$ – drugi wzór zadania 2. Zadanie 3. Oblicz $\frac{81^{2}\cdot16^{3}\cdot12}{8^{3}\cdot27^{3}\cdot72}$ Zamieńmy liczby w ułamek na potęgi o podstawie 2 i 3 oraz rozłóżmy liczby 12 i 72 na czynniki pierwsze, tzn.: $$\frac{81^{2}\cdot16^{3}\cdot12}{8^{3}\cdot27^{3}\cdot72} = \frac{(3^{4})^{2}\cdot(2^{4})^{3}\cdot12}{(2^{3})^{3}\cdot(3^{3})^{3}\cdot72} = \frac{3^{8}\cdot2^{12}\cdot2\cdot2\cdot3}{2^{9}\cdot3^{9}\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3} = \frac{3^{8+1}\cdot2^{12+2}}{2^{9+3}\cdot3^{9+2}}=$$ $$=\frac{3^{9}\cdot2^{14}}{2^{12}\cdot3^{11}}=3^{9-11}\cdot2^{14-12} = 3^{-2}\cdot2^{2} = \left(\frac{1}{3}\right)^{2}\cdot2^{2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{2} = \frac{4}{9}$$ Zadanie 4. Ustaw liczby w kolejności rosnącej: $-2^{4},~\left(-\frac{1}{2}\right)^{5},~(-2)^{5}$ $\left(\frac{1}{2}\right)^{2},~\left(\frac{1}{2}\right)^{6},~\left(\frac{1}{2}\right)^{3}$ Zauważ, że w pierwszym przykładzie, dla $-2^{4}$ mamy $-16$ zamiast $16$. Dlaczego? Ponieważ zgodnie z kolejnością wykonywania działań, najpierw potęgujemy liczbę $2^{4}$, a potem mnożymy przez $-1$, więc: $-2^{4} = -\left(2\cdot2\cdot2\cdot2\right)= -1 \cdot 16= -16$. Gdybyśmy mieli nawias, tj. $(-2)^{4}$, to najpierw wykonujemy działanie w nawiasie (mnożenie razy -1). Inaczej mówiąc, do potęgi podnosimy liczbę $-2$, tzn.: $(-2)^{4}~$=$~(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)~$=$~4\cdot4~$=$~16$. Oczywiście, gdy liczba ujemna jest podnoszona do nieparzystej potęgi, to wynik również jest ujemny, a więc ${(-2)}^{5}~$=$~(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)~$=$4\cdot4\cdot(-2)$=$~-32$. Mamy zatem: $$-2^{4} =-16,$$ $$\left(-\frac{1}{2}\right)^{5}=-\frac{1^5}{2^{5}}=-\frac{1}{32},$$ $$~(-2)^{5}=-32$$ Wobec tego mamy: $$(-2)^{5}~<~-2^{4}~<~\left(-\frac{1}{2}\right)^{5}$$ W następnym przykładzie zamieńmy najpierw ułamki na liczby, korzystając ze wzoru $a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$, czyli: $$\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=2^{-2},~\left(\frac{1}{2}\right)^{6}=2^{-6},~\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=2^{-3}$$ porządkując potęgi o takich samych podstawach będziemy kierowali się wykładnikiem potęgi. Im większy wykładnik – tym większa liczba. U nas wykładniki to $-2, -6~$ i $-3$, zatem w kolejności od najmniejszej do największej: $$2^{-6}~<~2^{-3}~<~2^{-2}.$$ Zadanie 5. Oblicz wartość wyrażenia: $(-2)^{4}+(1\frac{1}{3})^{2} – 3^{0}$ $-3^{4} + (-3)^{2} – (2\frac{1}{2})^{3}$ W zadaniu 4. było wyjaśnione, dlaczego liczba $-2^{4}=-16$. W tym przypadku mamy liczbę $-3^{4}$ i wynosi ona $-81$. Zatem:$$(-2)^{4}+\left(1\frac{1}{3}\right)^{2} – 3^{0} = 16 + \left(\frac{4}{3}\right)^{2}-1 = 16+\frac{16}{9}-1 =$$$$=\frac{144}{9}+\frac{16}{9}-\frac{9}{9}=\frac{144+16-9}{9}=\frac{151}{9}=16\frac{7}{9}$$ $$-3^{4} + (-3)^{2} – \left(2\frac{1}{2}\right)^{3}=-81+9-\left(\frac{5}{2}\right)^{3} = -72-\frac{125}{8} =$$$$= -\frac{576}{8} – \frac{125}{8} = \frac{-576-125}{8} = \frac{-701}{8} = 87\frac{5}{8}$$
Znajdź odpowiedź na Twoje pytanie o Uporządkuj Uporządkuj rosnąco liczby 2 do potęgi 3 i 5,4 do potęgi 7,2 do potęgi trzeciej dodać 2 do potęgi drugiej, 2 do po…FoodSaver. The FoodSaver Vacuum Sealer VS3150 has a completely removable vacuum chamber with an integrated drip tray, which made thorough cleanup during testing easy, even if we wanted to clean it
. 405 184 319 322 157 330 207 12